Matemática básica Ejemplos

$t^{3} - 3 t^{2} - 15 t + 125$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

Paso 3

Sustituye $- 5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 3.1

Sustituye $- 5$ en el polinomio.

${(- 5)}^{3} - 3 {(- 5)}^{2} - 15 \cdot - 5 + 125$

Paso 3.2

Eleva $- 5$ a la potencia de $3$ .

$- 125 - 3 {(- 5)}^{2} - 15 \cdot - 5 + 125$

Paso 3.3

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$- 125 - 3 \cdot 25 - 15 \cdot - 5 + 125$

Paso 3.4

Multiplica $- 3$ por $25$ .

$- 125 - 75 - 15 \cdot - 5 + 125$

Paso 3.5

Resta $75$ de $- 125$ .

$- 200 - 15 \cdot - 5 + 125$

Paso 3.6

Multiplica $- 15$ por $- 5$ .

$- 200 + 75 + 125$

Paso 3.7

Suma $- 200$ y $75$ .

$- 125 + 125$

Paso 3.8

Suma $- 125$ y $125$ .

$0$

Paso 4

Como $- 5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $t + 5$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} - 15 t + 125}{t + 5}$

Paso 5

Divide $t^{3} - 3 t^{2} - 15 t + 125$ por $t + 5$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$t$

$5$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$15 t$

$125$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $t^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $t$ .

					$t^{2}$
	$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$t^{2}$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			+	$t^{3}$	+	$5 t^{2}$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $t^{3} + 5 t^{2}$ .

				$t^{2}$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$t^{2}$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$

Paso 5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$t^{2}$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$

Paso 5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 8 t^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $t$ .

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$

Paso 5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					-	$8 t^{2}$	-	$40 t$

Paso 5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 8 t^{2} - 40 t$ .

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$

Paso 5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$

Paso 5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$

Paso 5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $25 t$ por el término de mayor orden en el divisor $t$ .

				$t^{2}$	-	$8 t$	+	$25$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$

Paso 5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$t^{2}$	-	$8 t$	+	$25$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$
							+	$25 t$	+	$125$

Paso 5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $25 t + 125$ .

				$t^{2}$	-	$8 t$	+	$25$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$
							-	$25 t$	-	$125$

Paso 5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$t^{2}$	-	$8 t$	+	$25$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$
							-	$25 t$	-	$125$
										$0$

Paso 5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$t^{2} - 8 t + 25$

Paso 6

Escribe $t^{3} - 3 t^{2} - 15 t + 125$ como un conjunto de factores.

$(t + 5) (t^{2} - 8 t + 25)$